【Edisi Pendidikan Rakyat】Matematika SMP Kelas Delapan Semester II: Menyelidiki Pola: Aturan Perkalian dan Pembagian Akar Kuadrat

Aturan perkalian dan pembagian akar kuadrat didasarkan pada makna akar kuadrat aritmetika dan sifat-sifat operasi bilangan real. Dalam pelajaran ini, melalui pengumpulan hasil perhitungan nilai-nilai tertentu, kami akan membimbing Anda menemukan pola umum:Hasil kali (atau hasil bagi) dari akar kuadrat aritmetika dua bilangan non-negatif sama dengan akar kuadrat aritmetika dari hasil kali (atau hasil bagi) kedua bilangan tersebut, dan aturan ini memiliki sifat dapat dibalik secara dua arah.

Memahami aturan ini tidak hanya untuk melakukan perhitungan aljabar dasar, tetapi juga untuk memahami secara mendalam batas logis yang ketat bahwa bilangan di bawah tanda akar harus non-negatif dan penyebut tidak boleh nol. Ini juga membuka jalan bagi operasi campuran polinomial yang kompleks dan berubah-ubah di masa depan.

I. Penyelidikan dan Aplikasi Aturan Perkalian Secara Langsung dan Terbalik

Seperti yang ditunjukkan oleh ilustrasi di sisi kanan layar, melalui verifikasi menggunakan angka-angka tertentu, kita dapat menemukan pola aljabar yang sangat indah. Anda dapat merujuk pada [Aset Visual: Tabel (Halaman 6)] Tabel verifikasi perhitungan untuk eksplorasi sifat perkalian akar untuk memperdalam pemahaman Anda.

Secara umum, aturan perkalian akar kuadrat adalah $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$.

Aplikasi langsung rumus ini terutama digunakan untuk menggabungkan perhitungan akar. Mari kita lihat bagaimana cara kerjanya:

Penggabungan Perkalian Langsung

Contoh 1 Hitung: (1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$; (2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$

Penyelesaian:

(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$

(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 27} = \sqrt{9} = 3$

Pemecahan Perkalian Terbalik

Demikian pula, persamaan terbaliknya $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$ adalah alat hebat untuk memecah dan menganalisis bilangan besar atau bentuk aljabar yang kompleks.

Contoh 2 Sederhanakan: (1) $\sqrt{16 \times 81}$; (2) $\sqrt{4a^2b^3}$

Penyelesaian:

(1) $\sqrt{16 \times 81} = \sqrt{16} \times \sqrt{81} = 4 \times 9 = 36$

(2) Karena $a^2 \ge 0$ dan $b^3 \ge 0$, maka $b \ge 0$. $\sqrt{4a^2b^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = 2ab\sqrt{b}$

II. Perkalian Akar Komposit dengan Koefisien

Dalam menangani perkalian akar komposit dengan koefisien atau variabel ganda, prinsip distribusi 'koefisien rasional dikali koefisien rasional, bagian irasional dikali bagian irasional' harus diikuti. Ini merupakan penerapan langsung hukum komutatif dan asosiatif perkalian bilangan real dalam bidang akar.

Operasi Pengeluaran Koefisien dan Bilangan di Bawah Akar

Contoh 3 Hitung: (1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7}$; (2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10}$; (3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy}$

Penyelesaian:

(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7} = \sqrt{14 \times 7} = \sqrt{2 \times 7^2} = 7\sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5 \times 10}) = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy} = \sqrt{3x \cdot \frac{1}{3}xy} = \sqrt{x^2y} = x\sqrt{y} \quad (x \ge 0, y \ge 0)$

III. Aturan Pembagian dan Batas Logis

Perkalian dan pembagian seperti dua sisi dari operasi matematika. Seperti yang ditunjukkan oleh [Aset Visual: Tabel (Halaman 8)] Tabel verifikasi perhitungan untuk eksplorasi sifat pembagian akar diperlihatkan, polanya konsisten.

Secara umum, aturan pembagian akar kuadrat adalah $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$, dan persamaan inversinya adalah $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$. Di sini penting untuk menekankan batas logis yang ketat: penyebut tidak boleh nol, sehingga $b > 0$!

Aplikasi Fleksibel Pembagian

Contoh 4 Hitung: (1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$; (2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$

Penyelesaian:

(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \div \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

🎯 Ringkasan Aturan Inti

Baik itu penggabungan perkalian, pemecahan terbalik, maupun penyederhanaan pembagian, logika dasarnya adalah menyederhanakan perhitungan atau menghilangkan tanda akar di penyebut. Masukkan rumus inti berikut ke dalam kotak alat aljabar Anda:

1. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$
2. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$
3. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$

PERTANYAAN 1

Hasil dari $\sqrt{2} \times \sqrt{18}$ adalah?

$36$

$6$

$\sqrt{20}$

$6\sqrt{2}$

PERTANYAAN 2

Hasil penyederhanaan yang paling tepat dari akar kuadrat $\sqrt{48}$ melalui pemecahan terbalik adalah?

$2\sqrt{12}$

$16\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$8\sqrt{6}$

PERTANYAAN 3

Dalam rumus $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, apa syarat rentang nilai untuk variabel $a$ dan $b$?

$a \ge 0, b \ge 0$

$a > 0, b > 0$

$a \ge 0, b > 0$

$a > 0, b \ge 0$

PERTANYAAN 4

Hasil dari $2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5}$ adalah?

$8\sqrt{15}$

$6\sqrt{15}$

$8\sqrt{8}$

$15\sqrt{8}$

PERTANYAAN 5

Hasil dari $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{2}}$ adalah?

$9\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$27$

$\sqrt{56}$

Tantangan: Eksplorasi Formula dan Aplikasi Mendalam

Kumpulan Soal Inti Ujian Harian Aturan Perkalian dan Pembagian Akar Kuadrat

Dalam geometri dan perhitungan fisika nyata, menguasai aturan perkalian dan pembagian akar kuadrat dapat menghindari banyak operasi akar kuadrat bilangan desimal yang rumit, menjaga keakuratan absolut hasil. Berikutnya, kami akan menguji pemahaman Anda terhadap aplikasi langsung, terbalik, dan batas logis dari rumus ini melalui latihan bertahap.

Eksplorasi 1

[Isi Tempat Kosong] Hitunglah bentuk-bentuk berikut, amati hasil perhitungannya, apa yang bisa Anda temukan dari polanya?
(1) $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \underline{\quad}, \sqrt{4 \times 9} = \underline{\quad}$;
(2) $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = \underline{\quad}, \sqrt{16 \times 25} = \underline{\quad}$;
(3) $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = \underline{\quad}, \sqrt{25 \times 36} = \underline{\quad}$

Pembahasan Lengkap dan Jawaban Referensi:
(1) Hitung secara terpisah: $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = \mathbf{6}$; kalikan dulu di dalam, lalu akarkan: $\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$.
(2) Hitung secara terpisah: $\sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = \mathbf{20}$; kalikan dulu di dalam, lalu akarkan: $\sqrt{16 \times 25} = \sqrt{400} = \mathbf{20}$.
(3) Hitung secara terpisah: $\sqrt{25} \times \sqrt{36} = 5 \times 6 = \mathbf{30}$; kalikan dulu di dalam, lalu akarkan: $\sqrt{25 \times 36} = \sqrt{900} = \mathbf{30}$.
Pola yang ditemukan:Secara umum, aturan perkalian akar kuadrat adalah $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$.

Latihan 2

[Jawaban Singkat] Latihan: 1. Hitung: (1) $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$; (2) $\sqrt{3} \times \sqrt{12}$; (3) $2\sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$; (4) $\sqrt{288} \times \sqrt{\frac{1}{72}}$

Pembahasan Lengkap dan Jawaban Referensi:
(1) Bentuk aslinya = $\sqrt{2 \times 5} = \mathbf{\sqrt{10}}$.
(2) Bentuk aslinya = $\sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = \mathbf{6}$.
(3) Bentuk aslinya = $2 \times \sqrt{6 \times \frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$. Jadi hasilnya adalah $\mathbf{2\sqrt{3}}$.
(4) Bentuk aslinya = $\sqrt{288 \times \frac{1}{72}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$.

Eksplorasi 3

[Isi Tempat Kosong] Eksplorasi: Hitung bentuk-bentuk berikut, amati hasil perhitungannya, apa yang bisa Anda temukan dari polanya?
(1) $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{4}{9}} = \underline{\quad}$;
(2) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{16}{25}} = \underline{\quad}$;
(3) $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \underline{\quad}, \sqrt{\frac{36}{49}} = \underline{\quad}$

Pembahasan Lengkap dan Jawaban Referensi:
(1) Hitung secara terpisah: $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$; akarkan secara keseluruhan: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$.
(2) Hitung secara terpisah: $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$; akarkan secara keseluruhan: $\sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$.
(3) Hitung secara terpisah: $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$; akarkan secara keseluruhan: $\sqrt{\frac{36}{49}} = \mathbf{\frac{6}{7}}$.
Pola yang ditemukan:Secara umum, aturan pembagian akar kuadrat adalah $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$.

Kombinasi 4

[Jawaban Singkat] Soal Latihan 16.2 Penguatan Pemahaman 1. Hitung: (1) $\sqrt{24} \times \sqrt{27}$; (2) $\sqrt{6} \times (-\sqrt{15})$; (3) $\sqrt{18} \times \sqrt{20} \times \sqrt{75}$; (4) $\sqrt{3^2 \times 4^3 \times 5}$

Pembahasan Lengkap dan Jawaban Referensi:
(1) Metode pemecahan: $\sqrt{24} \times \sqrt{27} = \sqrt{4 \times 6} \times \sqrt{9 \times 3} = 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = \mathbf{18\sqrt{2}}$.
(2) 带符号乘法：原式 = $- (\sqrt{6 \times 15}) = -\sqrt{90} = -\sqrt{9 \times 10} = \mathbf{-3\sqrt{10}}$。
(3) Penggabungan perkalian berantai: Bentuk aslinya = $\sqrt{18 \times 20 \times 75} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 2^2 \times 5 \times 3 \times 5^2}$, setelah disusun ulang diperoleh $\sqrt{27000} = \sqrt{900 \times 30} = \mathbf{30\sqrt{30}}$.
(4) Metode ekstraksi eksponen: Bentuk aslinya = $\sqrt{3^2 \times (2^2)^3 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 2^6 \times 5} = 3 \times 2^3 \times \sqrt{5} = 3 \times 8 \times \sqrt{5} = \mathbf{24\sqrt{5}}$.

Aplikasi 5

[Jawaban Singkat] [Gambar: Dua lingkaran sepusat] Seperti terlihat pada gambar, dua lingkaran memiliki pusat yang sama, dengan luas masing-masing $12.56$ dan $25.12$. Hitung lebar cincin lingkaran $d$ ($\pi$ diambil $3.14$, hasil dibulatkan ke dua angka desimal).

Pembahasan Lengkap dan Jawaban Referensi:
Diketahui luas lingkaran dalam $S_1 = 12.56$, luas lingkaran luar $S_2 = 25.12$, rumus luas lingkaran adalah $S = \pi r^2$. Menggunakan rumus pembagian terbalik dapat menyederhanakan proses perhitungan secara signifikan.
1. Jari-jari lingkaran dalam: $r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{12.56}{3.14}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$.
2. Jari-jari lingkaran luar: $r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{25.12}{3.14}} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$.
3. Hitung lebar: Lebar cincin lingkaran $d = r_2 - r_1 = 2\sqrt{2} - 2$.
Karena $\sqrt{2} \approx 1.414$, maka $d \approx 2 \times 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.
Hasil dibulatkan ke dua angka desimal menjadi $\mathbf{0.83}$.
Kesimpulan:Lebar cincin lingkaran $d$ sekitar $\mathbf{0.83}$.